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課程名稱 |
幾何概論二
INTRODUCTION TO GEOMETRICAL THOUGHT AND METHODS(Ⅱ) |
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開課學期 |
98-2 |
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授課對象 |
理學院 數學系 |
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授課教師 |
蔡宜洵 |
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課號 |
MATH2301 |
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課程識別碼 |
201 23400 |
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班次 |
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學分 |
3 |
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全/半年 |
半年 |
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必/選修 |
選修 |
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上課時間 |
星期五7,8,9(14:20~17:20) |
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上課地點 |
新503 |
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備註 |
1.欲修此課者不須先修過"幾何概論(一)" 。
2.大學部學生有初微、基礎線性代數背景者。
總人數上限：50人 |
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Ceiba 課程網頁 |
http://ceiba.ntu.edu.tw/982GEOMETRICAL |
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課程簡介影片 |
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核心能力關聯 |
本課程尚未建立核心能力關連 |
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課程大綱
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為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
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課程概述 |
本課與我曾於2009春開過的"幾何概論"內容幾乎不重複, 因此
另用課名"幾何概論(二)" . 由於兩者可以是彼此獨立的; 本課不必以
需先修過 "幾何概論" 為背景. 此外對於投影平面(Projective plane/space)
不熟而又未修2009秋我正開的"基礎數學概論"的同學, 可於以下 1. 及 2.
的內容得到一些對於投影平面的了解.
The content of this course is to be based on algebraic curves (i.e. curves defined by
polynomial equations) and partly on Riemann surfaces. Selective topics to be covered in this course:
1. Historical background
2. Review of synthetic and coordinate projective geometry
3. Duality principle generalized to higher degree curves: failure at the 1st stage
4. Local geometry of curves: tangents, double tangents, singular points, inflection points
5. Duality principle resumed via Plucker's formulas
6. Bezout's theorem
7. How many points through which may a curve be determined by?
8.Noether's fundamental theorems
9. local analytic expansions, Puiseux theorem, local intersection multiplicity
10. Abel's elliptic integrals
11. Riemann's classification of integrals
12. Riemann's motivation from physics
13. Linear series and Riemann-Roch theorem
14. Quadratic transformations; desingularization and Noether's theorem
It does not seem possible to cover all the above topics in one symester; a final selection will be made
based on the background and interest of the audience.
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課程目標 |
本課程可以視為代數幾何 A.G. 的初步, 以大學部生(理工生)為主要授課對象.
取材上不以 sheaf theory/cohomology 近代工具為主要方法,
而採用較為直觀的座標幾何或說是解析幾何的方法. 近代工具的引入,
使得許多直觀上自然的理論變成需要更多的預備知識才能學習; 甚至於即使學了也往往
將原本的直觀模糊了或無法運用直觀的語言來了解, 這樣是有些遺憾的. 而對於以後不必然
以純數學為專業或即使是專攻純數但不以代數幾何為專長者, 這樣也增加很多額外的困難,
因而無法了解了. 若採用古典工具的理解方式, 則有機會避開以上的缺點; 這是我開本課的動機之一.
動機之二是若考量到代數幾何與近代科學的接軌, 尤其在資訊科學方面, 則古典方式構造性, 具體
性的特色是它的優越點, 也因此值得介紹給大學部生. 就理想而言, 希望這門課程與以抽象方法
為主的大部分數學課程是有相輔相成的效果.
我試圖從歷史上的一種自然發展的過程來表達 A.G. 的一些觀念, 從 Plucker 使用齊次座標開始,
以及為了處理投影幾何學上的關鍵思想之一 "duality" 推廣至高階曲線上所產生的矛盾,
有了對於"奇異點" 的初步認識. 奇妙的是, 正確地了解奇異點也正是解除了
duality 的矛盾的關鍵, 同時也讓人們更有興趣研究高階的曲線(之前的研究多屬二階, 意即圓錐曲線).
比"duality"更早的所謂 "Cramer's Paradox"也是直觀上很有趣的題材, 解決它所需要的思維, 對於了解
之後的Noether 基本定理也會很有幫助. 另一個平行發展是Abel 正處理橢圓積分, 之後被 Riemann
接手而有全新的思維. 接著, 在代數幾何發展上一個重要的階段就是, Riemann 的成果與前述
方興未艾的曲線研究相結合, 因而產生了更多有趣而深入的結果. 這些所帶來的啟發,
大大影響了後世代數曲面論, 拓樸學, 代數數論, 甚至近世代數等二十世紀數學更快速的進展.
由於精確解釋上述的橢圓積分將需要 "複變函數", 而我們不要求複變為必備知識,
因此可能的方式是(若時間許可) 1. 以19世紀當時的方式能做計算就好; 或是 2. 減少這部分的計算內容,
改以多些幾何的內容. 這部分 1. or 2. 的選擇將視實際狀況來考量. 事實上 F. Klein 認為 Riemann
的想法的可行性乃得之於他運用了物理的直觀(電磁學), 繼之才以純數學來處理. 我們的選擇 2.基本上
接近Klein 這個觀點的解說(見以上參考書).
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課程要求 |
Differential calculus in several variables; basic linear algebra. |
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預期每週課後學習時數 |
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Office Hours |
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指定閱讀 |
Historical background: J. Gray: Worlds out of nothing- history of geometry in the 19th century
J.L. Coolidge: A history of geometrical methods
Algebraic curves: R.J. Walker; E. Brieskorn and H. Knörrer; J. L. Coolidge; G. Salmon
Riemann surfaces: books above, together with C.L. Siegel's "Topics in complex functions" and
F. Klein's explanation of Riemann's idea " On Riemann's theory of algebraic functions and
their integrals"
The titles of other books of relevance will be given in the course.
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參考書目 |
Historical background: J. Gray: Worlds out of nothing- history of geometry in the 19th century
J.L. Coolidge: A history of geometrical methods
Algebraic curves: R.J. Walker; E. Brieskorn and H. Knörrer; J. L. Coolidge; G. Salmon
Riemann surfaces: books above, together with C.L. Siegel's "Topics in complex functions" and
F. Klein's explanation of Riemann's idea " On Riemann's theory of algebraic functions and
their integrals"
The titles of other books of relevance will be given in the course.
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評量方式
(僅供參考) |
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No. |
項目 |
百分比 |
說明 |
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1. |
Midterm exam |
50% |
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2. |
Final exam |
50% |
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